Золотое сечение

У этого термина существуют и другие значения, см. Золотое сечение (значения).

Иррациональные числа γ - ζ(3) — √2 — √3 — √5 — φ — α — e — π — δ

Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон

Иллюстрация к определению.

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — делениенепрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

Отношение большей части к меньшей в этой пропорции выражается квадратичной иррациональностью

$varphi=frac{ sqrt{5}+1}{2} approx 1{,}6180339887dots$

и, наоборот, отношение меньшей части к большей

$frac{1}{varphi}=frac{ sqrt{5}-1}{2} approx 0{,}6180339887dots$

Число $varphi$ называется также золотым числом.

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией». Термин «золотое сечение» (goldener Schnitt) был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но ещё больше свойств вымышленных^[1]^[2]^[3].

Содержание

[убрать]

[править]Математические свойства

$varphi$ — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения $x^2 - x - 1=0$ , откуда, в частности, следуют соотношения:

$varphi^2=varphi + 1,$

$varphicdot (varphi - 1)=1,$

$varphi=cfrac{1}{varphi} + 1.$

$varphi$ — представляется через тригонометрические функции:

$varphi=2 cos frac{pi}5=2 cos 36^circ.$

$varphi=2 sin (3pi/10)=-2 sin 666^circ=2 sin 54^circ.$

Золотое сечение в пятиконечной звезде

Построение золотого сечения

Мозаика Пенроуза

$varphi$ представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:

$varphi=sqrt{1 + sqrt{1 + sqrt{1 + sqrt{1 + dots}}}}.$

$varphi;$ представляется в виде бесконечной цепной дроби

$varphi=1 + cfrac{1}{1 + cfrac{1}{1 + cfrac{1}{1+dots}}},$

подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи $frac{F_{n+1}}{F_n}$ . Таким образом,

$varphi=lim_{ntoinfty} frac{F_{n+1}}{F_n}.$
Мера иррациональности $varphi$ равна 2.

$varphi;$ является знаменателем геометрической прогрессии, каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих.

В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении (на приведённом рисунке отношение красного отрезка к зелёному, так же как зелёного к синему, так же как синего к фиолетовому, равны $varphi$ ).

Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка $AB$ можно построить следующим образом: в точке $B$ восстанавливают перпендикуляр к $AB$ , откладывают на нём отрезок $BC$ , равный половине $AB$ , на отрезке $AC$ откладывают отрезок $CD$ , равный $BC$ , и наконец, на отрезке $AB$ откладывают отрезок $AE$ , равный $AD$ . Тогда

$varphi=frac{|AB|}{|AE|}=frac{|AE|}{|EB|}.$

Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.

[править]Золотое сечение и гармония в искусстве

Под «правилом золотого сечения» в архитектуре и искусстве обычно понимаются асимметричные композиции, не обязательно содержащие золотое сечение математически.

Есть основание считать, что значимость золотого сечения в искусстве преувеличена и основывается на ошибочных расчётах. Некоторые из таких утверждений:

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми»^{[источник не указан 1200 дней]}.

[править]Примеры сознательного использования

Золотое сечение и зрительные центры

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий Жолтовский также использовал золотое сечение в своих проектах^[4].

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения. Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие развивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что, так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

[править]См. также

[править]Примечания

↑ Радзюкевич А. В. Красивая сказка о «золотом сечении»
↑ Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number
↑ Devlin’s Angle, The Myth That Will Not Go Away
<a href="h